换元积分法和分部积分法

4.2换元积分法和分部积分法章一、类换元积分法三、分部积分法（IntegrationbySubstitutionandIntegrationbyParts）二、类换元积分法2021/5/91第二类换元法第一类换元法设可导,则有基本思路

2021/5/92在上次课中，我们学习了“不定积分的概念和性质”给出了“基本积分公式表”。但是，对于形如这样的积分，利用不定积分的性质和基本积分公式表我们就无能为力了。为此，……2021/5/93一、第一类换元积分法定理4.2.1

则有换元公式(也称配元法,凑微分法)证明过程请看书!2021/5/94例4.2.11）求2）求补充例题1求解:

令则故原式

=2021/5/95补充例题2求答案：补充例题3求答案：例4.2.4求解:例4.2.5求答案：2021/5/96万能凑幂法常用的几种配元形式:

2021/5/97解:

原式=补充例题4求自主学习课本P141例4.2.6、例4.2.7、例4.2.82021/5/98例4.2.9

求解:例4.2.10

解:2021/5/99解法2（与课本解法不一样）2021/5/910补充例题5求解:

原式=补充例题6求或2021/5/911解补充例题72021/5/912补充例题8解:2021/5/913补充例题9解:2021/5/914解:补充例题10自主学习课本P141例4.2.11—例4.2.132021/5/915二、第二类换元法第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则用第二类换元积分法

.难求，2021/5/916是单调可导函数,且具有原函数,证明略,详细过程可参见课本P142则有换元公式定理4.2.2

设反函数2021/5/917例4.2.14

计算1）解:2021/5/9182021/5/919补充例题11解:2021/5/9202021/5/921解:

令则∴原式补充例题12求自主学习课本P142例4.2.142）2021/5/922解:

令则∴原式补充例题13

求自主学习课本P142例4.2.152021/5/923解:令则∴原式补充例题14

求2021/5/924令于是自主学习课本P143例4.2.162021/5/925或从上面三个例子，可以看出如果被积函数含有：可作代换可作代换可作代换2021/5/926解

于是2021/5/927第二类换元法常见类型:令令令或令或令或第三节讲2021/5/928(7)

分母中因子次数较高时,可试用倒代换

令2.常用基本积分公式的补充

2021/5/9292021/5/930前面，我们利用复合函数的求到法则得到了“换元积分法”

。但是，对于形如的积分用直接积分法或换元积分法都无法计算.

注意到，这些积分的被积函数都有共同的特点——都是两种不同类型函数的乘积。这就启发我们把两个这就是另一个基本的积分方法：分部积分法.

函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分，2021/5/931积分得:分部积分公式或1)v容易求得;容易计算.由导数乘法公式：2021/5/932

第四章（IntegrationbyParts）补充例题16解:

令则∴原式另解:令则∴原式三、分部积分法答案2021/5/933一般说来,当被积函数为下列形式之一时,可考虑运用分部积分法进行计算:幂函数与三角函数(或反三角函数)之积,指数函数与三角函数(或反三角函数)之积,幂函数与指数函数之积,指数函数与对数函数之积,一个函数难于用其它方法积分,两个函数的乘积.2021/5/934把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”

的顺序,前者为后者为补充例题18求解:

令,则原式=反:反三角函数对:

对数函数幂:

幂函数指:

指数函数三:

三角函数解题技巧:自主学习课本P144-P145例4.2.18与例4.2.192021/5/935答案：

.答案：

补充例题22答案：

补充例题23答案：

2021/5/936解:

令则∴原式补充例题242021/5/937解:

令,则∴原式再令,则故原式=说明:

也可设为三角函数,但两次所设类型必须一致.补充例题26自主学习课本P145-P146例4.2.20-例4.2.242021/5/938